burnside引理

Burnside引理是一個重要的數學工具，主要用於計算在置換群作用下有限集合的等價類個數。該引理可以表述為：

設AA和BB為兩個有限集合，XX為從A到B的映射集合，GG為AA上的一個置換群。則XX在GG的作用下產生的等價類個數為：

|X/G|=1|G|∑g∈G|Xg|其中，Xg={x∈X|g(x)=x}，即GG中每個置換的不動點個數。

這個公式告訴我們，等價類的個數等於置換群中每個置換的不動點個數的平均值。Burnside引理在計數問題中有廣泛套用，特別是在統計物理學和組合數學中。