弗羅貝尼烏斯定理（Frobenius theorem）是數學和物理學中的幾個不同概念。以下是其在不同領域的詳細解釋：
在微分幾何中，弗羅貝尼烏斯定理是積分流形存在性定理的一種形式，用於研究流形上的分布。該定理斷言，如果M是一個微分流形，D是M上的一個r維光滑對合分布，那麼對於M上的每一點p，都存在通過p的D的一個積分流形。這表明在M上存在一個由D的葉構成的平坦坐標卡，其中所有的葉都是D的積分流形。
在矩陣理論中，Perron-Frobenius定理描述了非負矩陣的一個重要性質。該定理指出，任何方陣A，如果其所有元素非負，那麼它有一個唯一的正特徵向量（除了可能的標量倍數外），對應的特徵值具有最大的實部，這個特徵值和特徵向量對於理解矩陣的行為非常重要，尤其是在馬爾科夫鏈和疊代矩陣理論中。
在物理學和工程學中，弗羅貝尼烏斯不等式（Frobenius inequality）是一種特殊的不等式，用於描述矩陣乘積的秩與其因子之間關係的重要工具。
綜上所述，弗羅貝尼烏斯定理在不同的學科領域有著不同的套用和重要性。